Nous allons maintenant faire connaissance avec les arithmétiques non gödeliennes, c'est à dire méthodiquement désaccordées ou déréglées de manière à vérifier que leur logique respective est celle de la réalité naturelle. En d'autres termes, il convient de démontrer qu'elles fournissent l'expression arithmétique des logiques de la matière, de la vie et de la pensée. C'est en somme l'heure de vérité où après la phase d'investigation en direction d'un principe unique vient la phase de restitution à partir de ce principe confirmant ou infirmant la théorie. Je vais donc livrer ici les pièces à conviction qui m'ont persuadé de l'intérêt des arithmétiques non gödeliennes et encouragé à poursuivre avec persévérance leur exploration.
Pour cette vérification, il importe d'appliquer à l'arithmétique la discrimination faite depuis le début de cet ouvrage entre les catégories du contenant et du contenu. Le contenu de l'arithmétique c'est l'arbre des nombres se développant indéfiniment avec toutes ses ramifications et diversifications telles que les branches des nombres réels, complexes ou tranfinis. Le contenant de l'arithmétique c'est la forme de cet arbre dont la définition est toute entière inscrite dans sa semence. Certains logiciens comme Russell parlent de la génétique des nombres pour exprimer cette arborescence arithmétique et, dans ce cas, le contenant c'est le programme qui gouverne cette génétique. On peut recourir à d'autres images pour bien éclairer cette distinction entre contenant invariant et contenu variable, notamment celle du générique d'un film de cinéma qui embrasse toutes l'histoire racontée dans le film, ou mieux encore celle de la couverture d'un livre, générique beaucoup plus sobre que celui des films qui tendent désormais à présenter des morceaux de l'histoire que raconte le film. Dans le cas où l'histoire racontée est celle de la génération des nombres, divers supports calibrés sont familiers pour permettre leur enregistrement régulier tels que les tableurs, les cribles, les matrices, mais nous allons voir que le défaut de ces supports est d'être plans alors que la structure fractale de l'arbre des nombres impose de le déployer dans l'espace à n dimensions.
Je vais d'abord montrer que quatre éléments sont constitutifs de la semence de l'arbre arithmétique et nécessaires à sa croissance, à savoir les quatre métanombres 0, 1, 2 et 3. Je reproduis ci-après les relations entre les quatre grandeurs fondamentales et ces quatre métanombres qui m'ont permis au chapitre 2 d'exprimer les quatre métasèmes, sources de toute signification.
Je commence par un rappel. Les équivalences définies par ces métasèmes sont hiérarchisées sur des niveaux d'accord différents.Le niveau zéro d'accord est le niveau métaphysique où se situe l'Accord inexprimé A0 , opérateur absolu d'équivalence ou de correspondance entre l'Univers réel et l'Univers virtuel. Le niveau Un de l'Accord est le niveau ultraphysique où le premier métasème (métasème d'accord ou métasème harmonique) signifie que l'accord A0 est passé de l'essence inexprimée à l'existence exprimée par la correspondance univoque entre l'Accord A0 réalisé A1 ou 31et l'accord A0 virtualisé iA1 ou i31. Les trois autres métasémes sont équivoques tant que n'interviennent pas les trois suraccordages A2, A3, A4, sur les niveaux d'accord 2, 3, et 4, qui les rendent respectivement univoques.
Comme entrevu au chapitre 1 (§24), l'Accord inexprimé A0 , essence de l'accord, s'articule en trois métacatégories :
1)- Métacatégorie de l'identité signifiée par la réplication à l'identique dans le miroir A0 . Cet accord en puissance sur la positivité de l'Accord A0 s'actualise sur le niveau 1 par l'accord sur la position de l'Accord A0 . Cette position de l'accord s'exprime par l'affirmation d'un consensus : "Oui d'accord".
2)- Métacatégorie de l'altérité signifiée par la distinction qu'introduit la réplication entre l'objet et l'image. Cet accord en puissance sur la négativité de l'Accord A0 s'actualise sur le niveau 1 par l'accord sur la négation de l'Accord A0 . Cette négation de l'accord s'exprime par l'affirmation d'un disssensus : "Non, pas d'accord".
3)- Métacatégorie de la polarité : Accord sur la polarisation de l'Accord, de l'essence de l'Accord en puissance sur le niveau 0 vers l'existence de l'Accord en acte sur le niveau 1.
L'encadré ci-dessus fait apparaître la traduction de ces trois métacatégories consensuelles sur le registre virtuel de l'arithmétique à l'aide des métanombres, expression numérique de trois idéalités
-Unité ou idée de Un (métanombre 10), unité de vues lors du consensus,
- Dualité ou idée de Deux (métanombre 20), dualité de vues lors du dissensus.
-Idée de Zéro (métanombre 00) lors du passage polarisé du degré 0 d'accord (accord en puissance A0) au degré 1 d'accord (accord en acte A1).
Enfin, j'ai montré que la Trialité ou idée de
Trois (métanombre 30) est synonyme de l'idée
d'accord, Trois étant la valeur propre de l'opérateur
d'Accord (A0
3
0, A131, iA1i31).
En résumé, les quatre métanombres sont les quatre actualisations numériques de quatre idéalités arithmétiques nécessaires à la formalisation des quatre métasèmes. Le métanombre Trois est l'actualisation numérique de l'idée de trialité, de la même manière que les métanombres Un, Deux et Zéro, sont respectivement l'actualisation numérique des idées d'unité, de dualité et de zéro.
Lorsque l'accord A0 s'actualise dans l'Univers réel en Accord A1, passant du domaine métaphysique de la puissance au domaine ultraphysique de l'acte, il s'épanouit en trois déterminations conjointes que j'ai figurées par les trois flèches du Temps de la Force et de l'Espace constitutives du référentiel de Planck. Cependant l'arithmétique qui peut être construite à partir de ce référentiel est triplement déréglée puisque le sens de ces trois vecteurs est indéterminé.
Je vais successivement lever ces trois indéterminations en polarisant ces vecteurs . Comme annoncé au chapitre 1, §23, chaque polarisation impliquera un suraccordage de l'opérateur d'accord. J'ai alors comparé cet opérateur à un syntoniseur, machine à réaliser la syntonie, capable de se perfectionner en se syntonisant elle-même comme une machine à apprentissage. C'est dire que l'hypergrandeur Accord A, caractérisant le degré d'accord de cette machine passera successivement du degré 1 aux degrés 2, 3 et 4. En d'autres termes, les métanombres 32 ( soit A2 = 9), 33 (soit A3 = 27) et 34 (soit A4 = 81) seront les valeurs propres que prendra successivement l'opérateur d'accord responsable de l'accordage de l'arithmétique. La matrice arithmétique initialement constituée par les quatre métanombres 0, 1, 2 et 3 va successivement s'adjoindre des briques supplémentaires avec les métanombres 9, 27 et 81.
Nous allons sur ces bases procéder à la construction de l'arithmétique et vérifier combien il est important de dissocier les métanombres caractéristiques de la matrice contenante des nombres contenus. Il en est en somme comme de la détection en radioélectricité où il importe de séparer l'onde porteuse de la modulation qu'elle véhicule et qui seule exprime le message. Les métanombres définissent l'onde porteuse et les nombres définissent la modulation.
Je me donne au principe une méta-arithmétique inexprimée que j'appelle A0 définie par le méta-accord A0. Je rappelle que ce méta-accord A0 fonde un discernement ontologique entre l'accord, le désaccord et l'accordage ou le "faire exister l'accord".
Je fais les hypothèses de recherche suivantes que je me propose de vérifier dans le seul Univers réel puisque qu'aucune vérification n'est physiquement possible dans l'Univers virtuel des idéalités inobservables :
-L'Arithmétique A1 est la première expression d'une arithmétique originelle qui ne comprend que l'Accord A1 caractéristique de l'accordage initial de l'Univers. La logique de cette arithmétique A1 est par hypothèse celle du domaine subatomique où matière et antimatière sont équiprobables.
- L'Arithmétique A2 est l'arithmétique impliquant l'accord A2 qui remédie à la dyslexie digitale. La logique de cette arithmétique A2 est non booléenne1. Elle est par hypothèse celle du domaine atomique de la macrophysique qui englobe toute la matière non vivante où les structures lévogyres et dextrogyres sont équiprobables.
- L'Arithmétique A3 est l'arithmétique impliquant l'Accord A3 qui remédie à la dyslexie chirale. La logique de cette arithmétique A3 est par hypothèse la logique booléenne du vivant non pensant où la discrimination n'est pas faite entre le positif et le négatif géométrique.
-L'Arithmétique A4 est l'arithmétique impliquant l'accord A4 qui remédie à la dyslexie fractale. La logique de cette arithmétique A4 est par hypothèse celle de la pensée humaine capable de se repérer dans les étages de représentation.
Il importe maintenant de légitimer l'ordre chronologique de ces accordages successifs dans l'Univers réel.
L'accord métaphysique A0 est en dehors du temps.
Au temps T0, par actualisation de l'Accord A 0 (métanombre 30=1) intervient l'accord A1 (métanombre 31=3) qui opére l'accordage initial de l'Univers réel défini au chapitre 3. Dans ce domaine ultraphysique l'Arithmétique A1 a trois degrés d'équivocité définis par les trois métasèmes qui mettent repectivement en correspondance la triple réversibilité spatiale, dynamique et temporelle avec la triple réversibilité digitale, arithmétique et géométrique. Aucune succession chronologique ne peut y être déterminée.
Pour que soit déterminé l'ordre de succession
chronologique, celle des accords successifs mais aussi celle de
composition des nombres, il est nécessaire qu'intervienne
d'abord la polarisation du Temps. On pose que celle-ci a lieu au
Temps T1 par l'Accord A2 (métanombre
32=9) qui établit une correspondance biunivoque
entre les chiffres
et 
et les nombres 0 et 1.
L'arithmétique A2
n'a plus que deux degrés d'équivocité.
Pour que se poursuive ensuite en système monaire le séquençage en sens unique des unités de compte, il importe qu'intervienne au Temps T2 l'Accord A3 (métanombre 33=27) qui apporte la discrimination entre la raison positive +1 et la raison négative -1 de la progression arithmétique. L'arithmétique A3 n'a plus qu'un degré d'équivocité.
Pour qu'intervienne enfin la construction ordonnée du système de numération binaire, il importe qu'intervienne au Temps T3 l'Accord A4 (métanombre 34=81) qui apporte la discrimination entre la raison directe 2+1 et la raison inverse 2-1 de la progression géométrique. L'arithmétique A4 n'a plus aucun degré d'équivocité ; c'est l'arithmétique classique univoque.
Procédons maintenant à la construction d'un arbre de numération binaire pour illustrer la procédure qui vient d'être définie. Je commence par donner une représentation plane de l'arbre des nombres. Je le dessine (Fig 4-1) en développant ses embranchements par générations successives selon les puissances de 2. À côté de ce processus de croissance arborescente, j'ai dessiné un processus de croissance par cercles concentriques ; en somme, je représente une coupe de l'aubier de l'arbre arithmétique, qui fait apparaître les générations successives comme autant de couronnes concentriques2. Il est en effet plus cohérent de ne privilégier aucune région de l'espace et de distribuer radialement et isotropiquement les branches de l'arbre à partir du tronc.
En vertu de l'Accord A2, je commence donc par coder par les nombres 0 et 1, à la première génération, les deux branches de l'arbre ou les deux demi-cercles de l'aubier.
À la deuxième génération, en ajoutant sur l'arbre deux rameaux aux deux branches précédentes (en gras), on obtient les quatre nombres binaires qui codent les quatre nouvelles branches 00, 01, 10 et 11 (soit en décimal zéro, un, deux et trois). De même pour les quatre demi-cercles de la deuxième génération de l'aubier. En vertu de l'Accord A3, qui me donne le discernement de la gauche et de la droite, je choisis de coder toujours par le chiffre 0 la branche de gauche et par le chiffre 1 la branche de droite de l'arbre. Sur l'aubier j'ai choisi aussi de tourner dans le sens dextrogyre. J'aurais pu opter pour la convention inverse.
En écrivant en gras le radical de la branche-mère, on obtient ainsi à la troisième génération huit branches ou huit huitièmes de couronne codés par les huit nombres binaires 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111 (soit en décimal : zéro, un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept). Remarquons que tous les nombres de la première génération ont un seul chiffre, ceux de la deuxième deux chiffres, ceux de la troisième trois chiffres, et ainsi de suite. C'est dire que les nombres précédemment engendrés sont reconduits à la génération suivante mais précédés d'un zéro. Ce codage conviendrait particulièrement pour coder les générations successives de cellules se reproduisant par scissiparité. La cellule mère se dédouble en deux cellules filles identiques à la mère avec cette différence qu'elles ne sont pas de la même génération et qu'étant séparées et susceptibles de destins différents elles doivent être repérées par des numéros différents. Mon arbre des nombres est l'arbre généalogique de ces cellules.
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Sur la figure 4-1, je n'ai pas seulement arbitré la dyslexie horizontale ou chirale en prenant le parti d'écrire de gauche à droite, j'ai également arbitré la dyslexie verticale ou fractale en choisissant d'écrire le numéro d'une branche en partant de la première génération vers les suivantes. Sur la figure 4-2, je représente le parti pris contraire qui consiste à coder le numéro d'une branche dans le sens inverse de leur génération, soit en allant des frondaisons vers le tronc. On obtiendrait le même résultat avec l'aubier en allant de l'écorce vers le coeur et j'en donnerai la représentation à la figure 4-4. |
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On obtient alors pour chaque branche un autre numérotage que le précédent, par exemple à la troisième génération : 000, 100, 010, 110, 001, 101, 011, 111, soit en décimal zéro, quatre, deux, six, un, cinq, trois, sept. La première lecture du tronc vers les branches donne donc en décimal la séquence 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, et la deuxième lecture des branches vers le tronc donne la séquence 0, 4, 2, 6, 1, 5, 3, 7. On voit que le rangement n'est plus séquentiel : on a d'abord les nombres pairs, puis les impairs. Pour connaître selon ce sens de lecture le numéro d'une branche il faut refaire sa généalogie de génération en génération. Par contre, pour connaître le numéro d'une branche selon le premier sens de lecture, il n'est pas nécessaire de reconstituer se genèse d'embranchement en embranchement ; il suffit de procéder à un numérotage c'est à dire de sauter de branche en branche au sein d'une même génération et de compter quel est le rang de cette branche dans sa génération. On peut qualifier le premier rangement séquentiel d'ordinal, puisque la valeur d'un nombre se trouve défini de manière extrinsèque par l'ordre d'une succession, et le deuxième rangement de cardinal3 puisqu'il faut en somme pour connaître sa valeur carder le nombre, c'est à dire démêler sa structure intrinsèque comme si l'on peignait l'arbre. Comme déjà dit, la logique pose que la définition du nombre ordinal par rapport à sa position dans un ensemble se fait en extension, la deuxième définition du nombre cardinal par analyse de sa constitution interne se fait en compréhension.
On retrouve ici le problème de l'ascenseur entre les générations gigognes, en raison directe, du contenant vers le contenu, ou en raison inverse, du contenu vers le contenant. On voit comment du réglage mécanique du sens vertical ou radial de balayage découle l'interprétation des nombres selon des significations logiques aussi différentes que l'ordinal ou le cardinal, l'extension et la compréhension, le nombre saisi du point de vue du contenant externe en tant que numéro d'ordre et le nombre saisi du point de vue du contenu interne par son identité génétique. On constate ici à l'évidence qu'un sens sémantique peut naître d'un sens mécanique et, comme je l'ai déjà souligné à diverses reprises, toute l'informatique se fonde sur ce lien nécessaire entre un fonctionnement physique et une fonction logique, lien qui peut être ambivalent tant qu'un accord sur la polarisation des réglages n'est pas intervenu.
La feuille de papier sur laquelle je viens de procéder à la construction de l'arbre des nombres m'a contraint à une représentation plane. Ce faisant je trahis le lien exposé au chapitre 2 entre la puissance d'un nombre définie arithmétiquement par un exposant et géométriquement par le nombre de dimensions d'espace. Je rappelle que ce lien est attesté sémantiquement par les fait qu'on dit qu'un nombre est élevé au carré ou au cube s'il est élevé à la puissance 2 ou 3.
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Pour traduire fidèlement cette correspondance entre la dimension géométrique des cases où s'inscrivent les nombres et la pondération exponentielle croissante des générations en fonction des puissances de 2, il convient d'associer au déploiement des générations arborescent ou circulaire, comme ci-dessus dans le plan, leur déploiement dans des espaces à 1, 2, 3 dimensions. En bref, il convient de combiner l'agrandissement par expansion dans le plan et le surdimensionnement par développement dans l'espace à n dimensions. Sur la figure 4-3 ci-après, j'ai représenté l'une au dessus de l'autre, pour les trois premières générations, la modélisation géométrique pluridimensionnelle et la modélisation arithmétique annulaire. Pour le numérotage des cases de l'aubier, j'ai adopté la lecture cardinale, de l'écorce vers le coeur. |
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En modélisation géométrique, je suis parti d'un point origine sans dimension représentant la génération zéro codée arithmétiquement par 00. La première génération est figurée par un segment de droite unidimensionnel partagé en son milieu par ce point central 00. En modélisation arithmétique annulaire ces deux demi-segments deviennent les deux moitiés du coeur de l'aubier codés par les nombres 0 et 1.
La deuxième génération prend la figure géométrique d'un cercle bidimensionnel partagés en quatre quadrants. En modélisation arithmétique annulaire ces quatre quadrants deviennent les quatre compartiments de la deuxième couronne de l'aubier et reçoivent les numéros 0, 1, 2, 3.
La troisième génération a la figure d'une sphère tridimensionnelle divisée verticalement en quatre quartiers coupés en deux dans le plan équatorial. Ces huit demi-quartiers deviennent en modélisation arithmétique annulaire les huit compartiments de la 3ème couronne de l'aubier portant respectivement les numéros 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Et ainsi de suite, la structure de chaque génération n°N, pour être complètement représentée, doit être figurée à la fois arithmétiquement par les 2N cases de la Nème couronne de l'aubier et géométriquement par une hypersphère à N dimensions dont l'hypersphère de dimension N-1 est la projection. Comme aucune représentation géométrique n'est possible au delà de 3 dimensions, on doit arrêter ici la figuration de la modélisation géométrique et poursuivre seulement la modélisation arithmétique. Cependant, il importe d'observer que la modélisation géométrique, quoique non représentée, se poursuit dans les hyperespaces à n dimensions ; c'est notamment indispensable pour comprendre la structure de l'arithmétique A3 que je vais présenter.
Soulignons d'ailleurs que tout est joué dès la deuxième génération et qu'il n'est pas nécessaire de s'efforcer vainement de concevoir des hyperespaces ; tous les matériaux nécessaires à la construction de l'arithmétique sont assemblés dés lors que l'on est en possession des quatre métanombres de la 2ème génération. Le processus de construction de l'arithmétique A4 amorcé par la séquence des générations n°0, 1 et 2 peut se poursuivre sans qu'il soit besoin d'autres ingrédients. Cependant cette construction n'offrira la régularité de l'arithmétique univoque classique A4que si l'on suppose résolue les trois dyslexies digitale, chirale et fractale, c'est à dire si l'on se donne les trois accords A2, A3 et A4 sur les trois règles qui les arbitrent. Déjà donc sont implicites dans le codage numérique univoque de la figure 4-3 les métanombres 32, 33, et 34 qui sont l'expression arithmétique de ces trois accordages.
Après cette construction de l'arithmétique je vais maintenant procéder à sa déconstruction systématique en supprimant les réglages précédents dans l'ordre inverse de leur installation et en commençant par le dernier:
1)- Premier désaccordage par suppression de l'accord A4 qui polarise l'axe de l'Espace. La discrimination entre positif et le négatif géométrique n'est plus faite. L'arithmétique A4 devient une arithmétique A3 à laquelle manque un réglage.
2)- Deuxième désaccordage par suppression de l'accord A3 qui polarise l'axe de la Force. La discrimination entre le positif et le négatif arithmétique n'est plus faite. L'arithmétique A3 devient une arithmétique A2 à laquelle manquent deux réglages.
3)- Troisième désaccordage par suppression de l'accord A2 qui polarise l'axe du Temps. La discrimination entre le positif et le négatif photographique n'est plus faite. L'arithmétique A2 devient une arithmétique A1 à laquelle manquent trois réglages.
Là s'arrête le désaccordage car chaque étape de cette procédure de désaccordage est une action qui implique l'Accord A1 faute duquel aucun accordage n'intervient. L'arithmétique A0 est inexprimée et les idéalités qui la constituent peuvent être codées par les puissances zéro des métanombres comme indiqué au §11.
L'ordre de succession des désaccordages s'impose en sens contraire de celui des accordages comme le démontage d'un échafaudage se fait dans l'ordre inverse de celui du montage. On ne saurait d'ailleurs dérégler le sens du temps tant que la succession des désaccordages n'est pas achevée ; l'on ne pourrait pas non plus dérégler le numérotage des générations si ce numérotage était déjà déréglé du fait que le sens horizontal de lecture des numéros serait indécis.
Enfin, il peut paraître contradictoire de prêter à la Nature, lorsqu'elle construit progressivement les arithmétique A1, A2, A3, A4, des grilles qui ne peuvent être définies qu'en partant de cette arithmétique univoque achevée A4, comme si la Nature avait le pouvoir de supposer le problème résolu. La possibilité d'une telle procédure rétroactive a été évoquée au chapitre 3 (§34) à propos des séries acausales, par analogie avec les arrêts de la Cour de cassation. Cette interrogation capitale sur la possibilité que les accordages A1, A2, A3 et A4, puissent être opérés depuis le futur sera reprise aux chapitres 6 et 7.
Soit donc l'arithmétique A4.Je vais montrer que l'arithmétique A3 que j'obtiens en supprimant l'accord A4 est une arithmétique des nombres premiers. Pour commencer, je vais me servir comme d'un crible d'Eratosthène de la matrice dans laquelle j'inscris les nombres au fur et à mesure de leur génération en arithmétique A4. Cette matrice n'est plus une grille rectangulaire et plane selon l'usage, mais l'aubier annulaire et multidimensionnel dont la modélisation est amorcée sur la figure 4-3. On sait que, avec la grille d'Eratosthène où est inscrite la suite des nombres entiers, pour découvrir les nombres premiers on commence par éliminer les multiples de deux en barrant un nombre sur deux à partir du 2 ; puis on élimine les multiples de 3 en barrant un nombre sur trois à partir du 3 ; puis, le 4 étant déjà barré, on élimine les multiples de 5 en barrant un nombre sur cinq à partir du 5, et ainsi de suite de proche en proche jusqu'à épuisement des nombres écrits sur le crible. Après quoi, les nombres qui subsistent sans avoir été barrés sont premiers.
Avec mon crible multidimensionnel, je procède de la même manière mais au lieu de barrer successivement les multiples de 2, 3, 5, etc..., je les élimine en les évacuant dans un solide géométrique de dimension d'espace supérieure à 2 dont le contenu est annihilé si l'on projette ce solide sur un plan ; ainsi, à la 3ème génération (3ème couronne de 2 3 = 8 cases), j'évacue le 4 et le 6 dans la sphère tridimensionnelle de la figure 4-3 qui sera le dépôt de tous les multiples de 2 qui seront engendrés par la suite. Arrêtons-nous là provisoirement Examinons ce qui subsiste sur mon crible annulaire après cette élimination des multiples de 2. Leurs cases respectives sur les couronnes de l'aubier sont vides ; ce sont en somme leurs tombes (en fait leurs cénotaphes) et je les colore en gris pour les distinguer des cases des nombres premiers en blanc. Sur ces tombes vides, je continue toutefois à mentionner pour mémoire les valeurs des multiples envoyés ad patres. J'obtiens ainsi la grille de la figure 4-4 dans laquelle j'ai adopté à gauche le numérotage cardinal qui fait apparaître le regroupement dans le demi-cercle inférieur des quatre nombres premiers impairs : 1, 3, 5, 7, tandis que le demi-cercle supérieur héberge les quatre multiples de 2 : 0.2, 1.2, 2.2, 3.2 où 0 et 2 sont sur fond blanc comme premiers, tandis que le 4 et le 6 sont sur fond gris. Observons que tous les nombres d'une couronne sont répliqués sur la couronne suivante mais leurs répliques sont écrites avec un chiffre de plus, un zéro qui ne change pas leur valeur.
Comme succinctement suggéré plus haut, traduisons méthodiquement cette réplication en termes de génétique des nombres. Imaginons qu'un biologiste trace l'arbre généalogique d'une population de bactéries se reproduisant par mitoses successives à partir d'une souche unique. La bactérie-mère ne meurt pas lors de cette reproduction ; elle renaît à la génération suivante en chacun de ses deux descendants qui lui sont physiquement identiques. Cependant ils ne lui sont pas arithmétiquement identiques. Le biologiste assigne en effet à ces bactéries-filles un numéro de code qui a pour radical commun celui de la mère précédé pour l'une des bactéries d'un 0 et pour l'autre d'un 1 (ceci en numérotage ordinal). Une discrimination numérique est ainsi arbitrairement introduite comme pour le repérage de deux jumeaux par des bracelets différents. Le numéro de la bactérie-fille qui commence par 0 (par exemple 010 soit 2 en décimal) exprime le même nombre que celui de sa mère (ici 10 soit 2 en décimal) ; cette fille-là est si l'on veut la réincarnation de sa mère ; si ce nombre est premier il est toujours tracé sur fond blanc. Le numéro de la bactérie-fille qui commence par 1 (par exemple 110 soit 6) exprime un nombre différent de celui de la mère (ici toujours 10 soit 2) ; il n'est écrit sur fond blanc que s'il est premier comme c'est le cas pour le 5 (en binaire101) et le 7 (en binaire 111). Une diversification arithmétique est ainsi introduite dans la reproduction physique à l'identique.
Le mécanisme d'élimination des multiples étant désormais compris, je vais maintenant poursuivre la représentation de la grille de l'Arithmétique A4 où ne subsistent que les nombres premiers et les tombes des multiples avec mémoire de leur valeur. Je limite cette représentation au numérotage ordinal qui permet de mieux voir la distribution des nombres premiers dans la suite ordonnée des nombres entiers. Si, sur la figure 4-5 (voir ci-après), je pousse jusqu'à la sixième génération qui comprend 26=64 nombres, c'est en en vue de l'application qui va suivre de l'arithmétique A3 au code génétique qui comporte 64 codons que l'on peut numéroter de 0 à 63.
Reprenons donc le processus d'expansion des anneaux de l'aubier au-delà de la 3ème génération où nous nous étions arrêtés.
À chaque nouvelle génération, il suffit de considérer sur la figure 4-5 les seuls nombres portés par les demi-couronnes du bas puisque ceux des demi-couronnes du haut sont des répliques (avec un 0 en plus) de la génération précédente et leur sort a déjà été réglé. À la quatrième génération (4ème couronne, nouveaux nombres de 8 à 15), je crée une hypersphère à 4 dimensions (4D), dépôt de tous les multiples de 3 présents et à venir. J'y héberge notamment le 9 et le 15, ainsi que les autres nouveaux multiples de 3 de cette génération (le12) qui, notons-le sont déjà hébergés dans la sphère précédente (3D) car multiples également de 2. Et ainsi de suite, à la 5éme génération (5ème couronne, nouveaux nombres de 16 à 31), je crée une hypersphère à 5D, dépôt de tous les multiples de 5 qui héberge présentement le 25=52, et les autres multiples de 5 déjà casés dans les dépôts précédents car multiples également de 2 et de 3. À la 6ème génération ( 6ème couronne - nouveaux nombres de 32 à 63) je crée une hypersphère à 6D, dépôt de tous les multiples de 7 où j'héberge le 49 =72 et les autres multiples de 7 déjà casés car multiples également de 2, 3 ou 5.
Je me limite à cette 6ème génération car à ce stade quelques remarques s'imposent. On aura d'abord noté qu'il y a des intersections entre les dépôts de multiples dès lors qu'un nombre est le produit de plusieurs facteurs. Ainsi le nombre 15=3x5 se trouve à l'intersection du dépôt à 3 dimensions (3D) des multiples de 3 et du dépôt à 4 dimensions (4D) des multiples de 5. De plus j'observe que si les dépôts 3D, 4D, 5D, 6D, peuvent être affectés respectivement aux multiples d'un seul nombre premier, à savoir 2, 3, 5, 7, il n'y a pas à conclure qu'il en sera toujours ainsi et que l'hospitalité d'un dépôt ne va pas s'élargir à la descendance de plusieurs nombres premiers ; de fait, on peut vérifier que si les dépôts 7D et 8D continuent à n'héberger respectivement que les multiples de 11 (car 112=121 compris entre 64 et 127) et de 13 (car 132=169 compris entre 128 et 255). Cela n'est plus vrai à la 9ème génération (nouveaux nombres compris entre 256 et 511) où le dépôt 9D héberge à la fois les multiples de 17 (car 172=289) et de 19 (car 192 =361). C'est dire que la population des cases des couronnes successives s'accroît beaucoup plus vite que la population des nombres premiers qu'elles contiennent dont on dit qu'ils se raréfient4.
Ainsi il y a hétérogénéité entre la croissance de la population de l'aubier où les couronnes concentriques se développent régulièrement sans se chevaucher et la croissance irrégulière de la population des dépôts qui ont entre eux de multiples intersections. Cette hétérogénéité de la génétique des nombres entre la croissance exponentielle des couronnes et la croissance dimensionnelle des dépôts introduit dans l'arithmétique un désordre imputable au statut des nombres premiers. Plus on va vers les grands nombres, plus s'accentue cette disproportion entre les expressions arithmétique et géométrique de l'arbre des nombres qui demeurent inséparables. Les nombres premiers vont apparaître responsables d'un véritable chaos arithmétique qui est le modèle même du chaos déterministe mis en évidence par les physiciens. Chaos déterministe puisque l'apparition des nombres premiers de génération en génération est parfaitement déterminée, mais chaos quand même car le désordre de leur distribution devient à la longue identique à celui que l'on obtiendrait si l'on abandonnait au hasard cette distribution.
Ici j'introduis une nouveauté tout à fait radicale par rapport à ce criblage des nombres premiers somme toute classique : c'est de l'Eratosthène transposé dans l'espace à n dimensions. Je vais appliquer la Théorie de l'Accord en entendant par là qu'Eratosthène et ses héritiers jusqu'à aujourd'hui ne se sont pas inquiétés de la contexture de leur grille sous-jacente à l'écriture des nombres. Ils n'ont pas fait la distinction entre la porteuse et la modulation de l'émission des nombres. Ils ont méconnu la méta-arithmétique, substrat de l'arithmétique constitué par les métanombres.
Empruntons une fois de plus à la technologie du tissage : la grille de l'arithmétique A4 représentée sur la figure 4-5 est analogue à l'armure d'un tissu, ce canevas qui ressemble à une grille de mots croisés et qui définit la texture d'un tissage. Mais cette armure peut elle-même être considérée comme un tissu dont le gabarit commun à toutes les armures postule une "méta-armure" qui n'est autre que la structure même d'un métier à tisser. Les métanombres sont les composants de l'armature du métier à tisser les nombres qui imposent le gabarit de l'armure. Comme la construction de l'arithmétique est tributaire de ce métier méta-arithmétique, il importe de faire apparaître la trace de cette armature sous-jacente à l'armure de l'arithmétique A4.
En d'autres termes, sur la grille de la figure 4-5, il convient de mettre en évidence les métanombres qui se distinguent des nombres comme le contenant se distingue du contenu. Or ces composants de la méta-arithmétique ne sont pas seulement les métanombres, 0, 1, 2, 3 mais également les métanombres 9, 27 et 81 puisque ce sont les valeurs propres des opérateurs d'accord A2, A3 et A4 qui assurent les réglages de l'Arithmétique A4. Sur la figure 4-6 ci-dessous j'ai donc porté ces métanombres écrits en blanc sur fond noir afin de bien marquer leur fonction distincte de celle des nombres premiers. Avec ce gabarit5 des métanombres, la grille de l'arithmétique A4 ainsi représentée rend donc compte de l'armature du métier qui a servi à la fabriquer.
Pour transformer le grille de l'arithmétique A4 ci dessus- en grille de l'arithmétique A3, il suffit de considérer que les cases grises des multiples sont vides. La grille est percée de trous qui définissent des intervalles entre les nombres premiers où l'indication du numéro des cases est effacée bien que la localisation de ces cases soit bien déterminée.
En effet, le premier déréglage de l'Arithmétique A4 a consisté à supprimer la discrimination entre les dépôts où sont rangés les multiples. On a perdu la boussole topologique qui permet de discerner la montée et la descente dans les espaces multidimensionnels.Si l'on avait tracé la 7ème couronne on verrait que la case du 81 n'est plus noire mais grise car l'accordage A4 n'est pas effectué ; 81 cesse d'être un métanombre pour devenir un multiple ordinaire.
Dès lors le savoir des nombres des compteurs ainsi déréglés se limite aux métanombres 0,1,2,3,9, 27 et aux nombres premiers. Je vais montrer que ces compteurs sont ceux des vivants non pensants. Il suffit de concevoir que le défaut d'accordage A4 ne permet pas de concevoir la notion de référentiel puisque la discrimination entre contenant et contenu devient floue. Nous sommes tellement habitués aux systèmes de coordonnées cartésiens qui nous permettent de définir sans ambiguïté les positions dans l'espace qu'il est malaisé de s'en défaire. Imaginons des joueurs d'échecs qui ne peuvent plus définir la position des pièces en abcisses et en ordonnées, ou des marins qui ne peuvent plus définir leur point en latitude et en longitude.
Pour exercer à cette représentation non cartésienne, je vais d'abord imaginer une histoire destinée à faire comprendre que les nombres premiers et les métanombres constituent comme des balises fixes dans le psychisme des vivants dépourvus de l'accord A4. Imaginons que je suis un animal, une puce par exemple, qui n'a appris à l'école en fait de nombres cardinaux que les métanombres et les nombres premiers. Je sais par exemple écrire avec un chiffre distinctif les nombres 0, 1, 2, 3, 5, 7, 9, et je m'arrête là pour les besoins de mon histoire. Ces chiffres constituent tout mon répertoire de signes. Je me fixe comme tâche de coder à l'aide de ces nombres utilisés comme numéros les cases successives d'un ruban enregistreur semblable à la couronne extérieure du schème ci-dessus. J'avance par petits bonds sur cette couronne analogue à un mètre à ruban long de 64 centimètres et sans autre inscription qu'une petite barre tous les centimètres. On peut encore remplacer ce ruban gradué par la spirale d'un jeu de l'oie muet de 63 cases plus la case départ à laquelle j'attribue le n°0. A chaque bond j'avance d'un centimètre et je me trouve sur la case suivante. J'ai le sens de l'itération, c'est dire que je maîtrise la progression arithmétique en sens unique ; j'ai conscience d'avancer d'un pas unitaire à chaque saut. Je me positionne donc successivement sur les trois premières cases auxquelles j'attribue les numéros 1, 2 et 3 dont je connais la valeur cardinale. Mais lorsque j'arrive à la case suivante j'ai un problème car, certes je suis conscient d'avoir fait un pas de plus, mais le nombre suivant dont je dispose est le 5 et je sais qu'il ne convient pas car je connais sa valeur ordinale qui est 5 et non 4 ; j'en aurai besoin pour numéroter la cinquième case. A l'école des animaux on n'apprend pas le nombre cardinal 4 que les hommes apprennent en tant que quantité égale à 22 ou 2x2. La notion d'exposant comme celle de multiple m'est totalement étrangère. Faute de disposer d'un nombre pour coder adéquatement cette case j'aimerais lui attribuer le n°3 bis, comme font les édiles lorsqu'ils ont à attribuer un numéro à la maison qui s'est construite côté impair entre le n°3 et le n°5. Mais mon répertoire de signes ne comprend pas le signe bis, alors je décide d'assigner également le n°3 à cette case excédentaire; je m'accomoderai de deux maisons ayant le même numéro 3 que j'aurai donc en deux exemplaires. Notons que je pourrais aussi bien assigner à cette quatrième case le numéro 5. C'est là une décision arbitraire qui pourra dépendre du sens de ma marche. Ainsi, assez paradoxalement, ces nombres premiers qui embarrassent fort l'arithmétique classique univoque obligée de les rechercher rétroactivement vont se révéler, avec les métanombres jouer un rôle fondamental dans l'arithmétique A3 spécifique du vivant non pensant. Je vais en effet montrer, comme annoncé, que la logique de cette arithmétique A3 n'est autre que la logique du code génétique.
Selon cette démarche, ayant fait le tour complet de la couronne de 64 cases, l'animal non cartésien ne disposant que de l'arithmétique A3 n'a pu attribuer que 22 numéros distincts soit:
0, 1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 23, 27, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 0
figurés par les cases blanches pour les nombres premiers et les cases noires pour les métanombres (écrits en gras ci-dessus). Ces 22 numéros lui ont permis d'introduire un balisage cardinal dans la séquence des nombres ordinaux. Notre animal s'est donc trouvé dans l'obligation de classer comme ex æquo, selon leur emplacement, les 42 cases restantes figurées en gris sur le schéma, ex æquo selon les cas avec le nombre premier ou le métanombre précédent ou suivant. Pour affecter des numéros aux ex æquo, il a donc fallu faire des copies d'un certain nombre de numéros originaux servant au balisage. On remarque que la distribution des numéros copiés parmi les numéros originaux est irrégulière ; tantôt il y a une seule copie, tantôt deux, tantôt trois, tantôt cinq. Je figure ci-dessous par des tirets les intervalles occupés par des multiples entre les nombres premiers ou les métanombres :
0 1 2 3-5-7-9-11-13---17-19---23---27-29-31-----37---41-43---47-----53-----59-61--0
Très exactement, la statistique des tirets est la suivante en situant les copies par rapport au nombre précédent :
10 tirets uniques après les nombres 3, 5, 7, 9, 11, 17, 27, 29, 41, 59.
1 tiret double après le nombre 61.
5 tirets triples après les nombres 13, 19, 23, 37, 43.
3 tirets quintuples après les nombres 31, 47, 53
0 tiret après les nombres 0, 1 et 2.
En fait, si l'on tient compte du nombre d'exemplaires de chaque numéro : original plus copies, on a la statistique suivante :
Numéros en un seul exemplaire : 3 ; ce sont les nombres 0, 1, 2, qui n'ayant pas d'ex æquo ne le sont qu'avec eux-mêmes.
Numéros en deux exemplaires: 10
Numéro en trois exemplaires : 1
Numéros en quatre exemplaires : 5
Numéros en six exemplaires : 3
Je ne suis pas biologiste, mais en 1970 est paru "Le hasard et la nécessité" de Jacques Monod avec en annexe le tableau du code génétique donnant la correspondance entre les 64 codons et 22 amino-acides ou signes de ponctuation. Comme je travaillais depuis quelque temps sur les arithmétiques déréglées, j'ai d'abord été alerté par une certaine parenté entre la logique de ce codage et celle de l'arithmétique quaternaire. Cette dernière se construit avec les quatre chiffres : 0, 1, 2 et 3 et le codage génétique se fait avec un alphabet de quatre lettres A, U, C, G dont on trouvera la signification en Annexe 1. Mais surtout, lorsque le biologiste disposant de l'arithmétique A4 dénombre sans ambiguïté 64 codons distincts de trois lettres, il se trouve que la cellule vivante n'en dénombre que 22 à travers sa grille de lecture. Il était donc normal de penser que la logique de cette grille pouvait être celle de l'Arithmétique A3. Or un examen plus attentif apportait une confirmation éclatante de cette hypothèse : la distribution irrégulière des 22 métanombres ou nombres premiers parmi les 64 premiers nombres est exactement celle des 22 acides aminés ou signes de ponctuation parmi les 64 codons. J'expose en Annexe I, à l'attention des biologistes, cette étonnante coïncidence qui apporte une première confirmation à la théorie de l'accord et je vais montrer qu'elle s'accompagne d'une coïncidence encore plus extraordinaire.
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Mais, grâce à une analogie, j'entends d'abord faire comprendre à des lecteurs non biologistes l'économie de la première coïncidence. Considérons un hôtel de 64 chambres portant les numéros 0 à 63. Ces chambres toutes identiques sont disposées en quatre niveaux de 16 chambres en sorte que l'hôtel est un cube comme représenté sur la figure 3-7. Soulignons que la construction de ce cube de 64 alvéoles n'a rien d'arbitraire. Les matériaux servant à sa construction sont les quatre métanombres 0, 1, 2, 3. Chacune des alvéoles cubiques n'est que la reproduction du motif cubique défini par le référentiel de Planck. Selon la procédure fractale, je n'ai fait qu'agrandir 4 fois ce motif dont la trame reste invariante, comme pour la construction de la courbe de Von Koch ; cependant cette fois la structuration fractale n'est pas plane mais déployée dans l'espace à 3 dimensions. |
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Effectuons le numérotage des chambres dans un système de coordonnées trirectangulaire classique en XYZ. Si l'on porte sur chaque axe les graduations 0, 1, 2, 3, les coordonnes de chaque chambre expriment en numération quaternaire leur numéro tel qu'il est reproduit au tableau de clés. On retrouve avec ces trois coordonnées et ces quatre graduations l'économie du codage génétique en trois lettres prises dans un alphabet de quatre lettres.
Bien entendu toutes les serrures et toutes les clés à la disposition des clients sont différentes. Cependant la direction de l'hôtel possède des passes, mais il se trouve que l'hôtel est vieux, que les serrures ont été souvent changées et qu'il n'existe pas un seul passe-partout mais tout un jeu de passes plus ou moins efficaces :
3 passes ouvrent chacun six chambres,
5 passes ouvrent chacun quatre chambres,
1 passe ouvre trois chambres
10 passes ouvrent chacun deux chambres
3 passes n'ouvrent qu'une chambre et ne sont donc que des doubles des clés de leur serrure.
L'ennui est que les chambres qu'ouvre un même passe ne sont pas toujours voisines ; elles sont même parfois à des étages différents et le personnel se plaint de l'incohérence de cette répartition des passes qui lui complique le travail. Or on a compris que j'ai choisi cette distribution des 22 passes parmi les 64 serrures parce qu'elle est isomorphe de celle des 22 amino-acides et signes de ponctuation parmi les 64 codons.
Monod pensait, parmi d'autres hypothèses, que les caprices du hasard pouvaient avoir présidé à cette distribution bizarre. Or voici qu'au lieu du hasard la logique de l'arithmétique A3 suffit à expliquer cette distribution qui n'a plus rien d'aléatoire. J'ai eu l'occasion de m'entretenir avec Jacques Monod de ce résultat en 1973 et de lui communiquer un mémoire que j'ai adressé à ce sujet sous pli fermé à l'Académie des Sciences6. Il s'est dit très surpris mais j'avais pleine conscience de ce que mon mémoire n'était qu'une ébauche dont la logique était boiteuse et surtout je m'expliquais mal à l'époque la nécessaire intrusion des puissances de Trois dans la série des nombres premiers. Je commençais tout juste à entrevoir la Théorie de l'Accord qu'il m'a fallu plus de vingt ans pour amener à son stade actuel de conceptualisation. Nous avons pris date, Monod et moi, en attendant que j'éclaircisse ce point essentiel et que je donne une assise épistémologique plus solide à ma théorie.
Cependant j'étais sur la piste d'un résultat encore plus important : celui de la numérisation pratiquée pour son compte par la Nature en arithmétique A3 au lieu du codage numérique artificiel plaqué par le biologiste sur la réalité naturelle en arithmétique A4. Il s'agissait, en d'autres termes de vérifier s'il était possible d'affecter aux 64 chambres et aux 22 passes des numéros qui n'auraient plus rien d'arbitraire et qui correspondraient à leur numérotage réel dont l'existence est postulée par la Théorie de l'accord. Or le problème pour le biologiste est précisément de se dépouiller de la rationalité cartésienne et de s'interdire l'usage d'un système de référence pour pratiquer ces numérotages. Autrement dit, il lui faut cesser d'être un homo sapiens raisonnant en logique A4 et se faire bête dont le cerveau par hypothèse fonctionne en logique A3.
C'est le moment d'avoir recours à la puce et à son itinéraire type jeu de l'oie évoqué plus haut. On va lui demander d'aller de chambre en chambre et de les numéroter du dedans et non plus du dehors en n'ayant d'autre référence qu'elle-même. Or il apparaît que pour visiter toutes les chambres sans repasser deux fois dans la même chambre il faut adopter un parcours en double hélice du type de celui présenté sur la figure 4-8.
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Pour mieux se représenter la chose, je propose de substituer à l'hôtel cubique un parking automobile également cubique avec 64 boxes qui correspondent aux 64 chambres. Il existe aujourd'hui de tels parkings automatiques où on laisse sa voiture à l'entrée ; un système d'ascenseurs et de tapis roulants commandé par ordinateur emmène votre auto sans chauffeur dans l'un des boxes. Ces parkings sont pourvus d'un poste de contrôle, analogue à la réception de l'hôtel, où le tableau de clés du concierge est remplacé par quelque tableau de signalisation permettant de visualiser l'occupation des boxes. Imaginons maintenant que pour les nécessités de l'entretien du parking, ou pour les exigences de la sécurité, il existe un rail desservant les 64 emplacements selon le parcours en double hélice. Sur ce rail glisse une nacelle qui permet à un employé de visiter les boxes à moins qu'elle ne serve à quelque passager distrait qui aurait oublié de descendre de voiture.
Je vais maintenant faire tenir à cet employé le rôle de la puce numérotant à suivre les boxes. Assis dans sa nacelle il a intérêt à être solidement sanglé car il va connaître les sensations d'un toboggan de foire. Les choses se compliquent en effet du fait qu'il est interdit en arithmétique A3 d'observer d'un point de vue externe à partir d'un référentiel cartésien ; l'observateur se fait centre du monde et référentiel d'observation. C'est dire que de l'intérieur de l'objet observé les notions d'entrée et de sortie du parking qui nous sont familières ne sont plus valables. Il faut situer le point de départ et le point d'arrivée de la nacelle au centre du cube en sorte que les deux hélices forment un circuit fermé. De plus, il s'impose de ne pas donner a priori à cette circulation une polarisation préférentielle dextrogyre ou lévogyre. C'est pourquoi le nouveau parcours représenté sur les figure 4-10 et 4-11 fait apparaître une symétrie comme dans un miroir entre les parties hautes et basses du circuit ; on voit que les hélices ont en haut le pas à gauche et en bas le pas à droite. Il résulte de cette symétrie que l'employé fera la moitié du parcours la tête en bas.
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Confions à cet employé la mission de définir les numéros des boxes en les rapportant à un référentiel Oxyz solidaire de son corps à la manière du bonhomme d'Ampère. Comme indiqué sur la figure 4-8 ses bras forment un angle droit. L'axe Oz est orienté vers sa tête ; l'axe Ox est défini par sa main droite dirigée dans le sens de la progression de la nacelle ; l'axe Oy est orienté vers sa main gauche. Il décide de définir le numéro d'un box par ses trois coordonnées xyz prises dans l'ordre.
Si au départ les coordonnées d'un box dans le référentiel Oxyz peuvent coïncider avec celles qu'il a dans le référentiel OXYZ, dès le premier virage à 90° les x et les y permutent en ce sens que l'abcisse x correspond à l'ordonnée Y et l'ordonnée y à l'abcisse X. De plus, lorsqu'il redescend la tête en bas, une nouvelle permutation des x et des y vient se cumuler avec celles qui interviennent à chaque virage à 90°. Si, pour nous autres cartésiens, il y a de quoi avoir le tournis, il n'en va pas de même pour l'employé qui va imperturbablement attribuer un numéro à suivre à chaque box en numération quaternaire. Comme il est un homme dont le cerveau fonctionne en arithmétique A4 il va donc adopter la séquence de numérotage quaternaire 000, 001, 002, 003, 010, 011, 012, 013 etc.... Mais dès lors qu'il se met dans la peau d'un animal fonctionnant comme la puce en arithmétique A3., la suite des nombres entiers ne comprend plus que les nombres premiers ; les boxes définis par des multiples en arithmétique A4 sont définis en arithmétique A3 par des numéros bis qui sont ceux des nombres premiers entre lesquels ils se situent.
Il y a donc tout un travail très minutieux à faire de conversion des numéros en XYZ en numéros en xyz. Je donne en Annexe 1 un aperçu de ce travail qui paie largement de la peine que l'on prend à se faire bête. L'incohérence de la distribution des passes parmi les chambres qu'ils ouvrent devient parfaite cohérence ; avec leur nouveau numérotage en xyz toutes les chambres ouvertes par un même passe sont le long du rail à la suite l'une de l'autre. C'est dire qu'au codage arbitraire des codons par le biologiste dans le référentiel OXYZ à l'aide des quatre lettres A, U, C, G, ou des quatre chiffres 0, 1, 2, 3 succède un numérotage qui n'a plus rien d'arbitraire. Chaque codon se trouve naturellement recevoir selon la logique de l'arithmétique A3 un numéro matricule particulier qui caractérise numériquement son identité naturelle et qui détermine sa fonction. Tous les codons ayant des numéros bis ont la même fonction. Autrement dit le numéro en XYZ que lit du dehors le biologiste selon sa logique humaine n'est pas celui qui est lu du dedans par les composants de la cellule vivante selon la logique animale.
Ce résultat est d'une telle improbabilité qu'il apporte une confirmation essentielle de la théorie d'une numérisation naturelle susceptible d'être généralisée. Là où la biologie travaille sur des formes géométriques, notamment pour définir l'enroulement spécifique des protéines, il doit être possible de numériser ces conformations comme on numérise les codons de telle sorte que leur numéro caractérise leur identité arithmétique naturelle. Il en va de même de tout le travail de transcription et d'analyse des séquences génétiques. On sait les extraordinaires possibilités de l'informatique dans le domaine dit du virtuel, pour reproduire, gérer et transformer le réel à partir de sa numérisation. Ce qui est ici en vue n'est autre que l'extension des techniques du virtuel à la biologie ouvrant la voie à une gestion informatisée des processus vitaux. N'ayant pas la compétence biologique requise, c'est une piste nouvelle que je me borne à signaler aux biologistes qualifiés leur laissant le soin de l'explorer plus avant.
L'Arithmétique A3 que je viens de présenter est donc frappée de dyslexie fractale. Je vais maintenant présenter l'Arithmétique A2 qui est frappée à la fois de dyslexie fractale et de dyslexie chirale ; enfin je me pencherai sur l'Arithmétique A1 frappée des trois dyslexies fractale, chirale et digitale. Après avoir présenté les applications de l'arithmétique A3 à la génétique des cellules vivantes, je tenterai de montrer les applications de l'arithmétique A2 à la génétique des atomes et molécules, puis les applications de l'arithmétique A1 à la génétique des particules élémentaires. Cependant je commencerai ce chapitre par quelques réflexions sur la logique de l'arithmétique A3 qui sortent du cadre de la biologie génétique et qui me paraissent de grande importance pour la logique classique dont les fondements se trouvent mis en question par cette généralisation de l'arithmétique.
J'ai eu au sujet de la logique du code génétique des échanges tout à fait positifs avec l'Institut Georges Gamow de Clermont-Ferrand7 dont les travaux recoupaient les miens par une approche toutefois fort différente. Ils apportaient la démonstration, par des calculs de probabilité d'erreurs, que la distribution des codons parmi les acides aminés obéissait à des lois strictes d'optimisation de résistance aux effets de mutation. En d'autres termes, si la Nature avait choisi de distribuer ainsi les redondances à l'aide de synonymes c'était pour se garantir au mieux des erreurs car le calcul montre que les risques d'erreurs ne sont pas partout les mêmes. Plus les risques étaient grands, plus la Nature précautionneuse multipliait les synonymes.
En fait, tout recours au calcul des probabilités présuppose des dénombrements et donc l'arithmétique classique. Cette variabilité qui apparaît à l'issue des calculs concernant les risques d'erreurs est à mes yeux la conséquence de la variabilité qui est inhérente à la distribution des nombres premiers parmi les entiers en arithmétique classique. On peut dire que les nombres premiers introduisent un désordre clandestin dans l'ordre apparemment sans faille de l'arithmétique univoque. C'est si vrai que pour les grands nombres on considère que leur distribution est isomorphe d'une distribution aléatoire ; elle est l'expression même des lois du hasard et l'on s'en sert en particulier pour chiffrer des messages. Autrement dit, ce que l'on recueille en fait de désordre à la sortie de l'ordinateur ayant effectué des calculs de probabilités était déjà présent à l'entrée de l'ordinateur dans le désordre des nombres premiers et l'ordinateur n'a été qu'un révélateur de ce désordre caché, tel qu'il apparaît au chapitre précédent sur l'arbre circulaire des nombres avec la distribution d'apparence aléatoire des cases noires et blanches parmi les cases grises. Il est donc tout à fait cohérent que les résultats de l'Institut Gamow soient conformes à ceux que j'ai obtenus en travaillant en amont de cet Institut sur l'arithmétique classique qu'il utilisait.
Cette existence d'un désordre dissimulé au sein de l'arithmétique est particulièrement mise en évidence par les travaux bien connus de Mitchell Feigenbaum qui aboutissent à faire surgir du chaos sur un écran d'ordinateur à partir d'une équation simple, dite équation logistique, résolue par itérations successives. Imaginons un écosystème élémentaire, par exemple un étang dans lequel des poissons d'une certaine espèce se reproduisent une fois l'an. La croissance de leur population dépend d'abord du taux de fécondité ou de peuplement posé égal à "a" tel que si le nombre de poissons est Nn en l'an n il est en l'année suivante n +1 :
Mais il y a des décès et une reproduction moindre en cas de sous-alimentation. Cette population nouvelle dépend donc aussi d'un certain "taux de dépeuplement" pour raisons diverses qu'il est permis, en première approximation, de considérer comme proportionnel à Nn. Soit "bNn" ce taux de dépeuplement tel que bN2n poissons disparaissent en l'an n+1. En cette même même année n+1, si l'on retranche la dépopulation, la population totale est donc
Avant les ordinateurs il était impossible de calculer par itérations successives l'évolution de cette population sur des milliers d'années et pour un grand nombre de valeurs de "a". Il est désormais très facile de le faire. Cette population ne manque évidemment pas de diminuer si les ressources de l'étang sont insuffisantes. Elle peut alors s'éteindre, ou se stabiliser, ou repartir pour un nouveau cycle de croissance et osciller ainsi autour d'un niveau d'équilibre. Bien entendu, si les ressources sont pléthoriques elle s'accroîtra jusqu'à saturation de son écosystème. Tout dépend de la valeur du coefficient "a" que l'on peut considérer comme caractéristique de l'écosystème. Or si l'on fait croître lentement ce coefficient "a", de très curieux résultats apparaissent sur l'écran. Pour a=a1=3, se produit ce que l'on appelle une bifurcation : la population prend alternativement, d'une année sur l'autre, deux valeurs symétriques par rapport à une valeur moyenne : les années paires P poissons, les années impaires Q poissons avec (P+Q)/2 constant. L'écosystème oscille ainsi au fil des ans selon un cycle bisannuel entre ces deux valeurs P et Q ; c'est ce que l'on appelle l'effet Joseph par allusion aux années de vaches maigres succédant aux années de vaches grasses. Soudain, pour a= a2 légèrement supérieur à 3, se produisent deux autres bifurcations, la périodicité devient quadriannuelle. Puis le phénomène des bifurcations s'accélère et la périodicité ne cesse de doubler pour des valeurs successives de "a": a3, a4, a5, etc... toujours plus rapprochées et demeurant inférieures à 3,57. On obtient un arbre des bifurcations identique à celui de la numération binaire figuré plus haut avec cette différence que l'épaisseur des couronnes concentriques affectées à chaque génération des nombres ne cesse de se réduire et tend vers zéro pour une périodicité infinie ; en donnant au rayon extérieur de ces couronnes les valeurs successives de a, elles demeurent toutes inscrites dans une circonférence de rayon a= 3,57 ou plus exactement : 3,5699....qui représente la limite des variations périodiques de l'écosystème. Au delà de cette valeur limite, par exemple pour a=4, c'en est fini de la périodicité ; l'effet Joseph cesse et commence le chaos. Les valeurs successives de la population deviennent d'une année sur l'autre totalement erratiques et l'on vérifie que tout se passe comme si elles étaient tirées au sort ; il arrive même que parfois réapparaissent des fenêtres de périodicité éphémère. L'équation logistique est alors un algorithme qui génère du hasard, exactement comme on génère du hasard avec la distribution des nombres premiers lorsqu'on arrive dans le domaine des grands nombres en s'élevant de plus en plus sur les couronnes de l'arbre de la numération binaire.
Cette similitude aboutit à poser à Feigenbaum la même question que celle posée à l'Institut Gamow : l'information de sortie livrée par l'ordinateur n'était-elle pas déjà incluse dans l'information d'entrée ? C'est le hasard inscrit ontologiquement dans l'arithmétique classique et manifesté par la distribution d'apparence aléatoire des nombres premiers qui se trouve révélé a posteriori par un traitement algorithmique. Remplaçons les poissons dans l'étang par des bactéries dans un bouillon de culture se répliquant à intervalles de temps fixe. Ne peut-on considérer les nombres premiers d'une génération donnée comme les bactéries qui survivent tandis que les multiples sont les bactéries qui meurent ou qui ne naissent pas ? ou plus simplement qui naissent stériles et ne se répliquent pas ? Il y a raréfaction des nombres premiers comme il y a raréfaction des bactéries pour une certaine valeur de "a" ; le numéro des survivantes seraient en l'occurrence un nombre premier.
Il y a également peut-être lieu de faire un
rapprochement entre les périodicités constatées
par Feigenbaum pour a<3,57 et les périodicités des
nombres dits avant-premiers (qui ne sont pas multiples d'un nombre
limité de facteurs premiers9). Feigenbaum a
également découvert que, à l'approche de la
limite définie par a=3,57,l'accélération des
bifurcations tend vers une valeur constante proche de 1/4 (en fait
1/4,669201...). De même, chaque fois que les bifurcations se
dédoublent, l'écartement des branches de chaque fourche
diminue de manière constante d'un facteur proche de 2/5 (en
fait 1/2,5029...). On prête à ces deux facteurs
constants, dits nombres de Feigenbaum, un caractère "magique"
comme seraient magiques les valeurs respectives du nombre 
ou de la
constante d'Euler "e". Mais cette magie n'a rien de mystérieux
; elle est vraisemblablement inscrite dans le statut des nombres
premiers dont on devrait pouvoir la déduire.
Déjà le lien entre la constante d'Euler "e" et la
distribution des nombres premiers10 est attestée
par la formule (N/logeN) qui donne le nombre de nombres
premiers inférieurs ou égaux à un nombre N. De
ce fait, la valeur de est indirectement rattachée à cette
même distribution des nombres premiers par la formule :
Il est d'ailleurs connu qu'il existe un lien, découvert par
le naturaliste Buffon, entre la valeur de et le hasard11.
C'est donc prendre l'effet pour la cause que de déterminer la
distribution des nombres premiers à partir de ces constantes ;
il serait plus logique d'inverser le calcul et de déterminer
la valeur de ces constantes à partir de la distribution des
nombres premiers.
De même, en ce qui concerne les nombres de Feigenbaum, il devrait être possible de les déduire de "l'écosystème des nombres premiers". On connait la configuration du bassin où ils se reproduisent : c'est la matrice arithmétique bidimensionnelle puisqu'on se débarrasse de tous les multiples en les expédiant "ad patres" dans des espaces de dimension supérieure à deux12. Cet oeuf arithmétique se fragmente par dichotomies successives comme tout ovule fécondé. Mais, comme dans le cas des cellules d'un organisme vivant, vient un moment où la réplication se raréfie, la population se stabilise, la croissance s'arrête. C'est d'ailleurs ce qui se vérifie si l'on pose que la population définie par l'équation logistique N(a - bN) est égale à la population des nombres premiers inférieurs à N (soit N/logN)
qui tend vers zéro si N tend vers l'infini. Ce qui signifie que le taux de peuplement (a) est égal au taux de dépeuplement (bN) pour N très grand. Et comme dans le cas de la numération binaire le taux de croissance "a" de la population des nombres par dichotomies successives est de 2, le taux de croissance de la dépopulation "bN" est lui aussi égal à 2 pour N très grand. Il y a là un beau sujet de recherche sur une gestion arithmétique possible de la croissance d'un embryon.
Je note par ailleurs que l'hypothèse d'une gestion arithmétique des phénomènes naturels est tout à fait d'actualité. Elle a été inaugurée dans les années 60 par les travaux de Conway simulant sur ordinateur certains jeux de la Nature ; l'approfondissement de cette hypothèse se poursuit13 avec les performances croissantes de l'informatique numérique susceptible de simuler et de restituer en haute fidélité une part croissante du réel.
L'interprétation de l'arithmétique A2 atteinte de dyslexie à la fois fractale et chirale est plus délicate que celle de l'arithmétique A3 atteinte de la seule dyslexie fractale. Déjà on a vu combien il était difficile pour l'homme de se mettre dans la peau d'un animal ; il est encore plus difficile de se mettre dans la peau d'une molécule ou d'un atome et d'assumer la non discrimination entre conjonction et disjonction. De plus, la science ne dispose pas à ma connaissance d'un code génétique dont la logique serait à la physique ce que la logique du code de l'ADN est à la biologie, encore que l'idée soit dans l'air14. Des classifications type Mendeleiev sont des amorces d'arithmétisation de la physique ; les éléments simples sont déjà numériquement codés en fonction du nombre de protons et de neutrons de leurs noyaux mais il conviendrait de substituer à la grille de l'arithmétique A4 qui préside à ce codage celle de l'arithmétique A2. C'est un vaste chantier qui s'offre15 et que je me bornerai à faire entrevoir en livrant seulement aux entrepreneurs intéressés le canevas de la grille de cette arithmétique A2.
La confrontation entre la Théorie de l'Accord et les données expérimentales de la physique est en effet plus malaisée qu'en biologie. Cette difficulté n'implique nullement qu'un tel code génétique de la physique n'existe pas. Il n'y a pas si longtemps, l'existence d'un codage génétique en biologie n'était nullement soupçonnée et sa structure arithmétique que j'ai mise en évidence ne s'imposera pas sans résistances, ni d'ailleurs sans rectifications et améliorations de détail qui sont le lot de tout progrès de la connaissance. Comme pour tout nouveau paradigme, l'accord sur le paradigme de l'accord ne se réalisera que lentement et douloureusement.
Essayons donc de voir à quoi ressemble l'arithmétique A2 et en quoi sa modélisation peut entraîner une nouvelle lecture de la macrophysique. Par définition, le passage de l'arithmétique A3 à l'arithmétique A2 se fait en supprimant l'accord du 3ème degré sur la polarisation dynamique qui permet de lever l'indétermination de la dyslexie chirale. On a vu que cette indétermination entre la Gauche et la Droite implique le non discernement entre le Et et le OU, qui fonde l'algèbre de Boole. La mitose qui opère la réplication de la cellule en deux cellules identiques n'est pas confondue par l'organisme avec la fécondation qui fusionne deux gamètes en un seul oeuf. De même la manducation qui assimile n'est pas confondue avec l'élimination des déchets ou le rejet des corps étrangers. Nous avons traduit sur l'arbre arithmétique cette discrimination dynamique en distinguant la lecture horizontale de gauche à droite ou de droite à gauche des numéros d'une même génération.
Rétablissons donc l'infirmité caractérisée par la dyslexie chirale ; pour bien concevoir cette ambiguïté horizontale du sens de lecture des nombres il est bon de commencer par rappeler l'exemple du jeu de lotos où manquerait le petit trait, ou la marque quelconque, indiquant conventionnellement le bas du jeton. Deux cas de figure peuvent se présenter ; il y a des chiffres arabes comme le 0, le I, le 8 qui sont symétriques et dont la lecture dans un miroir ne changent pas la valeur. Ce sont des jetons palindromes, tels ces mots qui peuvent être lus indifféremment dans le sens droite/gauche ou gauche/droite comme le mot "été". Convenons d'appeler singletons ces jetons réversibles qui, s'ils sont inférieurs à cent, peuvent comporter deux chiffres tels que II ou 88. Une remarque s'impose ici : j'utilise pour le Un le chiffre romain I et non le chiffre arabe 1 afin d'éliminer toute dissymétrie gauche-droite. Autre cas de figure : celui des jetons qui, par symétrie dans un miroir, échangent leur valeur avec celle d'un autre jeton, par exemple le I8 et le 8I deviennent indiscernables et interchangeables si le petit trait du bas est effacé. Ce ne sont plus des jetons palindromes mais des jetons énantiomorphes, c'est à dire qu'ils sont entre eux comme la main gauche et la main droite. J'appelle plus simplement doublons ces jetons ambivalents. C'est également le cas des jetons tels que le 6 ou le 9I qui sont lus respectivement 9 et I6 si on permute le haut et le bas, ce qui revient à remplacer le miroir vertical situé à la suite des chiffres par un un miroir horizontal placé au-dessus. Ainsi, dans le sac des lotos sans marque du bas, il n'y a plus deux jetons distincts 6 et 9 mais deux jetons doublons dont la valeur est la même : 6 ou 9.
Il importe peu ici de recenser en numération décimale le nombre de singletons ou de doublons inférieurs à 100 car il est fonction de la typographie des chiffres arabes qui est culturelle et non naturelle. L'essentiel est de retenir que le nombre de jetons distincts se trouve réduit du fait de ces ambivalences qui sont des synonymies analogues à celles que nous avons analysées dans le cas des codons avec les numéros bis ; le lecteur des jetons en arithmétique A2 est aveugle à la marque du bas comme la Nature biologique est en arithmétique A3 aveugle au dimensionnement géométrique. Pour elle, le sac des 64 codons distincts que dénombre le biologiste ne contient plus que 22 codons distincts. La probabilité de tirer du sac un jeton ou un codon existant en plusieurs exemplaires est donc accrue par rapport à la probabilité de tirer un jeton en un seul exemplaire.
Affranchissons-nous maintenant des graphies arabes qui n'ont été évoquées que pour poser le problème et tenons-nous en à l'écriture digitale de la numération binaire qui n'a dans la nature d'autres caractères d'écriture que la présence ou l'absence d'un stimulus énergétique. Il n'est plus question alors de symétrie par rapport à un miroir placé au dessus des séquences comme dans le cas du 6 et du 9. Dans ce miroir, les deux caractères 0 et I ont pour image respective le 0 et le I. Ils sont symétriques entre eux comme le sont le blanc et le noir, le vide et le plein, le creux et la bosse. On a vu qu'il en est encore comme des deux versions d'une même image que constituent son négatif et son positif photographiques. On sait que par définition l'arithmétique A2 fait la discrimination entre la version positive et la version négative, comme le fait l'écriture digitale entre les deux caractères 0 et 1. J'ai posé que la matière est atteinte des dyslexies chirale et fractale mais non de dyslexie digitale. Conservons donc ces deux caractères et dressons, dans le tableau ci-dessous, l'inventaire des singletons et des doublons pour chacune des 6 premières générations de l'arbre des nombres. Limitons-nous aux seuls nombres premiers et métanombres que l'arithmétique A3 lègue à l'arithmétique A2; les singletons seront donc des nombres premiers ou métanombres réversibles et les doublons des nombres premiers ou métanombres convertibles en un autre nombre premier ou métanombre. On obtient :
|
Génération |
singletons |
doublons |
valeur décimale |
|
1 |
0,1 |
|
0,1 |
|
2 |
00 , 11 |
01 ou 10 |
0,3 1 ou 2 |
|
3 |
000, 101, 111 |
|
0, 5, 7 |
|
4 |
0000, 1001, |
1011 ou 1101 |
0, 9 11 ou 13 |
|
5 |
00000, 10001, 11111 |
10111 ou 11101 |
0, 17, 31 23 ou 29 |
|
6 |
000000 |
100101 ou 101001 101011 ou 110101 101111 ou 111101 |
0 37 ou 41 43 ou 53 47 ou 61 |
A noter que j'élimine à la 5ème génération le singleton 27= 33 ( 110011) qui est un métanombre en arithmétique A3 où il est valeur propre de l'accord A3. Nous sommes en effet maintenant en arithmétique A2 où seul subsiste le métanombre 9=32 qui est valeur propre de l'accord A2. A noter aussi que, à la sixième génération, tous les singletons sont des multiples (à l'exception du zéro). De même chez les doublons, les autres nombres premiers se changent en multiples et sont éliminés (notamment le 39 -100111 devient 57=3x19 -111001).
Au total, si l'on reprend l'analogie du gardien dans sa nacelle numérotant les 64 boxes de son parking avec des sextuplets, il ne dispose plus pour baliser son parcours que d'un singleton et de trois doublons. S'il décide, toutes générations confondues, d'utiliser comme balises des singletons ou des doublons, quel que soit leur nombre de chiffres (compris entre 1 et 6) son répertoire de numéros comprend :
Ainsi, le répertoire des numéros disponibles s'est amenuisé et, dans chaque génération, le nombre des synonymes s'est considérablement accru. À la sixième génération, l'information définie en Arithmétique A4 par un jeton tiré dans un sac comprenant 64=26 jetons distincts était de 6 bits ; en arithmétique A3 où le sac ne comprend plus que 22 jetons distincts sur 64 elle est de log222=4,46 bits ; en arithmétique A2, où le sac ne comprend plus que 4 =22 jetons distincts sur 64 elle n'est plus que de 2 bits, ceci en admettant que seuls sont pris en compte les jetons sextuplets. Cette contrainte n'a rien d'impératif et l'on a vu que le codage génétique ne semble pas l'avoir toujours respectée.
La grille ci-dessus (fig 4-13) donne une représentation de l'arbre des nombres en arithmétique A2 où les cases grises laissées vacantes figurent toutes les branches manquantes parce qu'elles ont pour numéro soit des multiples, soit des nombres premiers ni réversibles (singletons), ni convertibles en un autre nombre premier (doublons). Ainsi, la grille applicable à la génétique macrophysique comprend beaucoup plus de synonymes que la grille applicable à la génétique biologique. Il s'agit d'examiner quel parti peut en être tiré concernant la logique de la macrophysique. Il importe à cet effet et avant tout de bien ressaisir la problématique génétique qui est la nôtre. Notre hypothèse de recherche est premièrement que la logique (A2) du non vivant se déduit de la logique du vivant (A3) en instaurant l'indécidabilité gauche/ droite, les structures lévogyres et dextrogyres devenant équiprobables faute de l'accord A3 sur la boussole dynamique. Depuis Pasteur, la stéréochimie confirme effectivement cette discontinuité essentielle entre l'asymétrie chirale des protéines lorsqu'elles participent à la vie d'un organisme et la symétrie chirale (c'est à dire l'énantiomorphisme) des mêmes protéines lorsqu'elles ne participent pas à la vie d'un organisme. Si donc il est vérifié qu'une grille arithmétique à chiralité décidable est sous-jacente à l'économie de la génétique biologique, on doit pouvoir vérifier que la même grille à chiralité indécidable est sous-jacente à l'économie de la génétique macrophysique. Notre hypothèse de recherche est, deuxièmement, que la logique (A1) des particules subatomiques, lorsqu'elles ne participent pas à l'organisation de l'atome se déduit de la logique atomique (A2) en restaurant la symétrie passé/futur, l'occurrence et la récurrence devenant équiprobables faute de l'accord A2 sur la boussole chronologique. A cet égard nous savons que la mécanique quantique confirme cette discontinuité entre l'asymétrie temporelle de la macrophysique et la symétrie temporelle de la microphysique. La logique A2 est donc bien cadrée entre la logique A3 et la logique A1 et ce cadrage est fondé sur des faits d'expérience.
De même que la macrophysique fournit à la biologie ses composants chimiques, de même la microphysique fournit à la macrophysique ses constituants particulaires ; ce sont les mêmes molécules et les mêmes particules qui se retrouvent au différents niveaux d'accord, plus ou moins accordées sur des polarisations de référence selon le niveau. Il en est comme de la circulation des voyageurs : ce sont les mêmes humains qui marchent "en pagaille" sur les rues piétonnes, qui circulent en voiture en tenant leur droite, ou qui voyagent en avion à des paliers d'altitude imposés ; le voyageur reste le même mais il respecte une réglementation de plus en plus stricte qui est la même que celle imposée à la circulation des informations sur les ordinateurs. Le voyage s'inscrit dans une configuration formelle que définit le code de circulation. Cette configuration formelle se réduit à celle de l'arithmétique que présupposent les algorithmes de l'informatique digitale. Les grilles des arithmétiques A4, A3, A2, A1, sont les référentiels de lecture de l'information. Si le matériau de base est le même et que seul change le référentiel, il est inconfortable de traiter de la macrophysique avant de traiter de la microphysique qui lui livre cette matière première. En application de l'Accord A1 qui laisse le champ libre soit à l'accordage, soit au désaccordage, j'ai choisi dans ce chapitre de déconstruire de proche en proche l'arithmétique et non de construire de proche en proche la matière, de désaccorder le référentiel du réel a termino et non d'accorder le réel a principio ; je dois me plier à cette contrainte que je n'ai cessé de rencontrer et de discuter dans les chapitres précédents.
Je m'accomoderai donc de cette difficulté en proposant quelques suggestions concernant la logique de la macrophysique. La physique atomique commence avec l'atome d'hydrogène d'où toute la chimie s'ensuit. Certes l'électron et le proton sont des particules en provenance du niveau subatomique régi par l'arithmétique A1, mais leur association pour former un atome est une forme d'organisation supérieure à celle des particules libres rendue possible par leur accord sur la polarisation de la boussole chronologique ; proton et électron sont tous les deux particules de matière et leur association ne serait pas possible si l'un était de matière et l'autre d'antimatière. L'association d'un anti-électron avec un antiproton au sein d'un anti-atome est également concevable ; l'essentiel est cet accord conventionnel sur un même sens du temps. La circulation de l'information est soumise à une première réglementation qui entraîne un bond qualitatif entre l'ordre des particules libres et celui des atomes et molécules. Cette discontinuité peut se traduire aussi bien en termes d'entropie ou de néguentropie comme je l'ai fait au chapitre 6.
L'atome d'hydrogène étant ainsi constitué intervient la formation de la molécule d'hydrogène par le jumelage de deux atomes identiques. Les deux noyaux, qui sont des protons de charge positive, devraient se repousser et de même les deux électrons qui sont de charge négative, mais depuis 1927 la mécanique quantique est intervenue pour expliquer qu'une énergie dite d'échange, dont la définition est strictement mathématique, vient transformer en union ce qui semblerait en première analyse devoir donner lieu à une séparation. Cette énergie d'échange procède du fait que, dès lors que deux atomes se marient pour former une molécule, les protons ne sauraient revendiquer quelque droit de propriété sur tel électron en disant : "celui-ci est le mien, c'est celui que j'ai apporté en dot lors de notre mariage" ; les protons ne se marient pas sous le régime de la séparation de biens mais sous celui de la communauté totale. C'est dire que les deux électrons sont désormais indiscernables et appartiennent autant l'un et l'autre à chacun des conjoints. On compare encore cette union à celle de deux enfants possédant chacun en propre une balle et se mettant à jongler entre eux. Dès lors, ils sont dans l'impossibilité tant qu'ils jonglent de se séparer l'un de l'autre ; ils se trouvent liés physiquement par cette volonté de jouer ensemble ; cette volonté s'exprime concrètement par la contrainte que représente l'échange de balles qui désormais n'appartiennent plus ni à l'un ni à l'autre mais à leur association de jongleurs. Or cette double appartenance de chacune des deux balles ou de chacun des deux électrons me parait avoir son expression arithmétique avec le statut des nombres premiers doublons. On a vu ci-dessus que le premier d'entre eux est le doublon 11/13 qui est engendré à la quatrième génération. Supposons que l'un des jongleurs porte le dossard n°11 et l'autre le dossard n°13. Dès lors qu'ils jonglent les balles ont une double identité, à la fois 11 et 13. Au loto digital, deux jetons auraient de même une égale probabilité d'être un 11 (digital 1011) ou d'être un 13 (digital 1101). Au loto atomique, deux électrons ont une égale probabilité similaire.
Certes, il resterait à expliquer bien des points : pourquoi ces deux doublons à la quatrième génération ? quid des doublons et singletons des 5èmes et 6èmes générations ? que signifient les quatre singletons à la troisième génération (0, 2, 5, 7, en digital : 000, 010, 101, 111) ? et à la deuxième génération - celle des quatre métanombres 0, 1, 2, 3, - n'avons-nous pas déjà deux doublons avec le 1 (digital 01) et le 2 (digital 10) et deux singletons (0 et 3 ; digital 00 et 11) ? Je pense qu'il y a là peut-être là une précieuse réserve de numéros à attribuer aux six quarks et aux six leptons avec lesquels le physicien construit toutes les particules, exactement comme le biologiste construit toute la génétique avec 22 codons numérotés. Mais c'est l'arithmétique A1 qui va peut-être nous éclairer à cet égard.
Toute une réinterprétation de la physique me parait ainsi concevable à partir de cette modélisation arithmétique qui n'est donnée ici qu'à titre indicatif, incitatif et même approximatif car je ne suis pas un physicien théoricien qualifié et je ne saurais mener seul à bien une telle tâche. Je donne en Annexe 2 l'application que je me suis risqué à faire de l'arithmétique A2 à la logique des quatre interactions fondamentales ainsi qu'une application de l'Arithmétique A1 à la démonstration du théorème CPT. Il a fallu un siècle pour que soit accepté, assimilé, exploité le paradigme quantique. La vérification et l'exploitation du paradigme de l'Accord, s'il est fondé, exigera elle aussi du temps. L'enjeu n'est pas seulement la clé de la "superunification'" des interactions fondamentales mais également la clé de l'explication de la valeur des constantes universelles. J'entends par là qu'il doit être possible de déduire de l'axiome unique, à partir de l'articulation de la matrice arithmétique définie par les seuls métanombres, le pourquoi de la vitesse c de la lumière, de la valeur G de la constante de gravitation et des valeurs respectives des constantes de Planck h et de Boltzmann k.
Il reste à voir à quoi ressemble l'arithmétique A1 et en quoi sa modélisation peut entraîner une nouvelle lecture de la microphysique temporellement réversible. Par définition, le passage de l'arithmétique A2 à l'arithmétique A1 se fait en supprimant l'accord du 2ème degré A2 sur la boussole chronologique qui permet le discernement entre "l'avant" et "l'après", la discrimination entre le "pas encore" et le "déjà" qui fonde la distinction entre le positif et le négatif temporel. Je rappelle que le Zéro, dans cette interprétation temporelle, est soit origine soit fin ; ou bien il signifie le "pas encore là" de l'événement unitaire noté 1 lorsqu'il adviendra ; il est alors l'avant d'un avoir lieu. Ou bien il signifie au contraire la fin d'un avoir lieu, son après : événement unitaire qui a cessé, il n'est plus là. C'est dire qu'il y a ambiguïté dans la succession chronologique : le 0 peut précéder le 1, ou le 1 peut précéder le 0. L'avant et l'après sont indiscernables. L'accord A2 sur le réglage de la boussole chronologique a pour but de lever cette ambiguïté. J'ai également signalé que dans la réalité naturelle les signifiants respectifs du Zéro et du Un peuvent être les plus divers : les couleurs blanches et noires, les charges électriques positives et négatives, les configurations en creux ou en bosse, les intervalles vides ou pleins. Ce positif et négatif temporel qui a pour expression informatique les chiffres 0 et 1 est à distinguer du positif et négatif dynamique noté en arithmétique par les signes + et - de l'addition et de la soustraction et du positif et négatif géométrique noté en arithmétique par les signes + et - de l'exposant. La dénonciation de l'Accord A2 qui provoque la dyslexie digitale signifie que le 0 et le 1 deviennent interchangeables. Si les signifiés de ces métanombres demeurent univoques en tant qu'idées de zéro et d'unité, leurs signifiants informatiques ont deux versions, l'une positive l'autre négative en entendant par là qu'elles se correspondent par permutation des 1 et des 0. Ces deux versions définissent un doublon. Il n'y a plus de singleton.
La grille de l'arithmétique A1 se réduit de la grille de l'arithmétique A2, sans repêcher bien entendu les nombres premiers non réversibles ou non convertibles déjà éliminés. En continuant à éliminer les nombres premiers dont le négatif serait un multiple, sont conservés:
- Première génération : 0/1 ou 1/0,
- Deuxième génération : 00/11 ou11/00, (décimal 0 ou 3), 01/10 ou 10/01 (décimal 1 ou 2),
- Troisième génération : 000/111 ou 111/000 (décimal 0 ou 7), 010/101 ou 101/010 (décimal 2 ou 5)
- Quatrième génération : néant ( le doublon 11/13 s'inverse en nombres ni réversibles ni convertibles)
- Cinquième génération : 00000/1111 ou 11111/00000 (déc. 0 ou 31)
- Sixième génération : néant.
On dispose donc, toutes générations confondues, de 6 doublons temporellement réversibles codés en décimal :
La grille de l'arithmétique A1est représentée ci dessus (Fig 4-14); la légende est la même que pour les autres grilles : les numéros en gras sont la traduction décimale des multiplets binaires. Sont figurés sur fond gris les numéros répartis dans l'hyperespace multidimensionnel dont les couronnes successives sont la projection plane. Sont figurés sur fond noir les métanombres et sur fond blanc les nombres premiers hérités de l'arithmétique A2 dont la version négative est encore un nombre premier ou un métanombre. Je n'ai pas la compétence voulue en mécanique quantique pour exploiter cette grille que je livre aux spécialistes. C'est toute une réinterprétation de la théorie quantique qui est à étudier à partir de cette modélisation arithmétique. Elle ne saurait s'improviser et je me bornerai à indiquer pourquoi l'application de cette grille à la classification des particules me parait prometteuse.
Le principe de ma démarche est d'effectuer un codage arithmétique des particules considérées aujourd'hui comme fondamentales, c'est à dire des quarks et des leptons, de la même manière que j'ai arithmétiquement numéroté les bases U, C, A, G, du code génétique. J'ai substitué en biologie un codage arithmétique à un codage chimique et m'est apparu un ordre arithmétique sous-jacent que ne révélait pas la chimie. Or, en physique subatomique, la définition de l'identité des particules par toute une panoplie de nombres quantiques est déjà l'indice d'une structuration arithmétique implicite. De plus, la classification qui distingue les fermions et les bosons relève de statistiques qui, comme les calculs de probabilités, postulent l'arithmétique ; les statistiques de Fermi-Dirac et de Bose-Einstein qui président à cette classification conduisent à considérer des "cases de l'espace des phases" analogues aux cases de ma grille multidimensionnelle. Une telle case ne peut être occupée au plus que par deux fermions identiques sous réserve qu'ils ne soient pas dans le même état de spin. Elle peut par contre être occupée par un nombre illimité de bosons. Les doublons de l'arithmétique A1 me semblent donc adaptés au codage des fermions et plus spécialement à ces six quarks qui jouent le rôle fondamental de constituants élémentaires dans la classification SU3 des baryons. Les particules y sont notamment définies par des multiplets qui évoquent le codage des codons par des sextuplets.
Les doublons des métanombres 00, 01, 10, 11, me paraissent d'une part convenir particulièrement pour le codage des quarks et des antiquarks de charge 1/3 et 2/3, d'autre part résoudre le problème de leur confinement. Le quark n'existe que confiné dans la matrice arithmétique dont il est le constituant fondamental. Extrait de ce référentiel bidimensionnel il devient une autre particule et change de numéro.
Au delà de la deuxième génération six doublons sont disponibles pour le codage des six leptons. Comme les leptons échappent à l'interaction nucléaire forte, il me parait intéressant de rapprocher la grille A1 de la grille A2 qui préside à l'articulation de ces interactions. Un électron libre relève de la grille subatomique A1, un électron prisonnier de l'organisation atomique relève de la grille A2. La physique quantique ne fait pas cette distinction qui me parait féconde.
En fin les théories de surperunification et notamment la Théorie des cordes ont besoin de se déployer dans des espaces multidimensionnels ; je pense avantageux de rendre compte de ce déploiement à l'aide du modèle simple qu'offre l'arithmétique généralisée.
Mon étude de l'arithmétique généralisée n'a rien à voir avec les spéculations de l'arithmologie ou de l'antique "guématrie" qui procèdent d'une manipulation des nombres dont on révèle une soi-disant valeur secrète. L'esotérisme met sa confiance en des intuitions, des inspirations, voire des visions ou des illuminations réservées à des "initiés". Certes la science n'explique pas tout et subsistent encore bien des énigmes. Je ne nie donc nullement l'existence de phénomènes mystérieux voire miraculeux mais je n'exclue pas davantage que des découvertes futures puissent ouvrir en ce domaine des voies d'intelligibilité radicalement nouvelles. J'oppose à la subjectivité de l'ésotérisme l'objectivité de l'exotérisme qui précisément vise à l'accord collectif des individus compétents sur ce qui est élucidé et explicité.
Toutefois l'ésotérisme peut a contrario illustrer ma méthode du fait qu'il introduit des indéterminations de lecture des nombres telle que le sens de lecture ; mais l'introduction de ces indéterminations est faite sans justification aucune si ce n'est l'apparente fécondité des résultats obtenus. En fait, dès que l'on dépouille l'arithmétique de ces règles, sa plasticité devient totale et l'on peut changer un nombre en n'importe quel nombre. Jongler en désordre avec les règles de construction de l'arithmétique univoque n'est aucunement probant. Ces jongleurs sont exposés à toutes les divagations. L'arithmétique généralisée s'attache au contraire à étudier méthodiquement ces règles, à s'interroger sur leur entrée en application successive dans la Nature, selon une logique rigoureuse. Elle s'interdit toutes les projections prématurées, particulièrement en ce qui concerne l'anthropologie, tant que la méthode n'est pas éprouvée à l'échelle infrahumaine de la physique et de la biologie.
Certes, il n'est pas sans signification que les Kabbalistes aient eu l'intuition de l'importance de ces règles et s'autorisent à les remettre en question, que les auteurs du Livre des Mutations aient conçu de même une structure primordiale - mélange de binaire et de ternaire- dans laquelle Leibniz a puisé l'inspiration de la numération binaire ; mais les conclusions qu'ont tirées ces "sages" ésotériques d'intuitions, qui peuvent apparaître aujourd'hui justes en partie, sont précisément restées parfaitement stériles, aberrantes et souvent néfastes, dans la mesure où elles nourrissent la crédulité et l'obscurantisme, jusqu'à ce qu'un savant exotérique tel que Leibniz s'en empare en vue d'une exploitation systématique objective.
Je revendique donc l'exotérisme qui oppose à cette voie subjective de la connaissance intérieure, mystique, occulte, individuelle, incommunicable, la voie objective d'une connaissance, communicable et collective, exposée au regard de tous pour être comprise, réfutée ou vérifiée, critiquée, reformulée et devenir peu à peu le bien commun d'une société de "savants" éventuellement d'accord sur sa validité. Cependant la logique trialectique implique la prise en compte du subjectif autant que de l'objectif et elle permet de modéliser leur interaction à partir de l'axiome d'accord. C'est pourquoi je ne récuse pas en bloc l'ésotérisme, je ne nie pas qu'il puisse y avoir une intuition privilégiée, mais elle ne m'intéresse qu'en tant qu'objet d'étude. D'ailleurs la science objective admet parfaitement qu'il entre dans le choix des hypothèses de recherche une part subjective incontournable ; de nombreuses études exotériques se sont penchées sur l'inspiration des savants, notamment des mathématiciens. Il en est comme des rêves dont l'étude objective est précieuse en psychanalyse.
Ma théorie de l'existence d'un Univers virtuel miroir de l'Univers réel ouvre la porte à une approche scientifique de l'ésotérisme ; il est encore une fois possible qu'au terme de ma recherche apparaisse l'explication de phénomènes réputés magiques dont la science se refuse à faire l'étude en l'absence d'une théorie explicative. Mon interprétation du hasard et de la réversibilité à l'échelle quantique entrouvre peut-être une telle porte que j'essaierai d'ouvrir un peu plus au chapitre 7. Mais en matière d'ésotérisme, comme de révélation religieuse, je n'entends nullement explorer ni exploiter le champ des phénomènes dits paranormaux ; je n'ai rien à dire à ce sujet ; le paranormal ne m'intéresse que s'il apparaît comme anomalie dans la normalité d'une théorie, de manière reproductible et vérifiable expérimentalement, sous forme de résultats surprenants ou paradoxaux. Des savants tels que Louis de Broglie ou Einstein considéraient que de tels résultats surprenants et paradoxaux, s'ils étaient confirmés, seraient du ressort de la magie. Ce qui m'intéresse c'est la "démagification" de l'ésotérisme, la désoccultation de phénomènes jusqu'alors inexplicables faute d'un outillage conceptuel approprié. En les élucidant on n'apporte nullement un démenti à l'ésotérisme mais au contraire une confirmation ; l'intuition cesse d'être une illusion ; l'inspiration cesse d'être une chimère à partir du moment où l'on découvre son mécanisme et où on le contrôle, le protégeant ainsi des élucubrations qui le pervertissent.
De plus, dans la mesure où l'ésotérisme se penche sur des phénomènes encore inexpliqués par la science exotérique, il crée un vocabulaire que la science ne manque pas d'utiliser le jour où elle trouve l'explication. Lorsque Franklin a expliqué le tonnerre et la foudre, il a continué à les nommer tonnerre et foudre. Les mathématiciens croient utiliser des symboles abstraits ; j'ai montré combien le vocabulaire de l'arithmétique (cf note 3) dérivait de la technologie du tissage. Les arithméticiens ont oublié que le chiffre 0 est vaginal et le chiffre 1 phallique. La symbolique mathématique avec ses grilles, ses treillis, ses anneaux, etc... est enracinée sur les mythes et archétypes.
C'est pourquoi au chapitre 7 lorsque je tenterai d'anticiper l'accord sur le sens devenu scientifiquement évident, il me faudra emprunter leur langage aux sagesses qui, persuadées d'avoir accompli ce dévoilement, ont disserté par avance sur cet avènement. Toutefois, il me paraît
ici opportun de souligner que ma recherche aux sources de la logique trialectique de l'Accord entend se distinguer radicalement de la démarche de la Théologie trinitaire. Le théologien part du mystère de la Trinité tel qu'il est révélé à la foi et tente de l'exposer en utilisant des comparaisons empruntées aux réalités familières. Saint Augustin, dit-on, n'a pas trouvé moins de 104 analogies de la structure trinitaire ; l'une des plus célèbres est la trilogie : agent, agissant, agi. Comme je l'ai souligné à maintes reprises, embrassant la totalité de l'histoire cosmique, je fais la navette entre l'homme moderne et le Big Bang, entre l'Alpha et l'Oméga. Il se trouve qu'un métaprincipe d'Accord s'impose comme origine, ressort et terme de cette histoire cosmique. La structure ontologique de l'accord m'apparaît triale mais, dans un premier temps, je ne veux pas savoir si elle ressemble à la structure trine des théologiens. La Trinité qui est un principe chez les théologiens sera peut-être pour moi une fin, un aboutissement.
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1-Avec cette nuance déjà soulignée que l'algèbre de Boole se fonde sur la discrimination entre la conjonction copulative et la disjonction inclusive tandis que j'exprime la réversibilité de la Force par la non discrimination entre la conjonction copulative et la disjonction exlcusive. Mais on peut montrer que ces deux discriminations s'impliquent mutuellement.
2- Notons que les anciens Chinois ont adopté parfois cette représentation circulaire pour la génération par dichotomies successives des hexagrammes du Livre des Mutations. C'est en prenant connaissance de ce schème que Leibniz a découvert le système de numération binaire qui fonde l'informatique digitale moderne. Mais curieusement, il n'a pas remarqué la signification logique attachée aux deux sens de lecture possibles.
3- Il y a une correspondance étroite entre le vocabulaire de l'arithmétique et celui du tissage comme si c'était sur le métier à tisser que s'était fait chez les primitifs l'apprentissage des régularité arithmétiques. C'est notamment ce que confirme la tradition des Dogons de la boucle du Niger (cf "Ethnologie et langage" par Geneviève Calame Griaule- Gallimard 1985). Ainsi ourdir et ordinal sont parents de même que carder et cardinal.
4- Ce qui se démontre aisément sachant que le nombre de nombres premiers inférieurs à N=2n est N/logN soit 2n/nlog2. C'est dire que le rapport entre la population 2n d'une couronne et la population des nombres premiers inférieurs à 2n est nLog2.
5- C'est cette trame arithmétique qui apparaît parfois dans les phénomènes d'auto-organisation tels que les cellules de Bénard.
6- "Note sur la clé du chiffre de la génétique". Bordereau de réception n°14449 en date du 5 Septembre 1972. La procédure sous pli cacheté, c'est à dire à ne pas ouvrir sans instruction ultérieure de ma part, permet de prendre rang.
7- Travaux effectués notamment par J.M. Labouygues, G. Cullmann et A. Figureau.faisant l'objet de diverses publications dont deux C.R. de l'académie des Sciences t 296 série II page 767 du 2 Mai 1983 et t 301 série III n°5 1985, l'une et l'autre communications présentée par Jean Dausset.
8- Cette transformation a l'avantage d'inscrire les variations de x entre 0 et 1 et de s'affranchir ainsi des difficultés que présenteraient la représentation sur écran des grandes valeurs de N.
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1 |
7 |
11 |
13 |
17 |
19 |
23 |
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31 |
37 |
41 |
43 |
47 |
49 |
53 |
59 |
49 est multiple de 7 |
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61 |
67 |
71 |
73 |
77 |
79 |
83 |
89 |
77 est multiple de 11 |
Ces périodicités ont été remarquablement mises en évidence sur ordinateur par les travaux du groupe Chryzode (Résonance transdiciplinaire - Revest des Brousses F 04150 Banon) dont on peut prendre connaissance sur Internet (http://www.alegria.fr/~chryz/ )
10- Cette formule est valable pour les grands nombres. Le logarithme en question est népérien, c'est à dire de base e.
11- L'expérience consiste à lancer
un très grand nombre de fois une aiguille de 1cm de long sur
des rainures parallèles espacées de 2cm. On
vérifie et on démontre que le rapport du nombre de fois
n qu'une des N aiguilles lancées coupe une rainure tend vers
si n tend vers l'infini. D'ailleurs le nombre intervient fréquemment en calcul des
probabilité. Ainsi la probabilité pour que deux nombres
pris au hasard n'aient pas de facteurs communs est
12- Le rayon des couronnes de l'aubier peut être calculé en sorte que la superficie de chaque case demeure constante de génération en génération. On trouve Rn=(2n-1)1/2
13 - À signaler dans ce domaine les importants travaux du Groupe Systema sur les relateurs arithmétiques.
14 -Dans la Revue américaine"Science" - Vol 274 -20/12/96 - je note un saisissant article de Barry Cipra sur la relation entre les nombres premiers et la théorie quantique. Par ailleurs j'ai trouvé une parenté entre ma modélisation et celle de P. Demers "Nouveau système périodique des éléments" in "Bio-Math" Tome XXXIV n°138 2ème Trimestre 1997. Sa figure de la page 23 est identique à ma figure 4-11.
15- Je note à ce sujet l'article de Gerald Joyce dans "Pour la Science" n°184 - février 1993- où il est fait état de divers travaux sur un " langage génétique universel" qui "décrit génétiquement presque n'importe quelle macromolécule". (p.77)
